7. Eratosthenes (≈275-195 BC)
Mit ihm begann die die Vermessung der Welt, er gilt als Vater der Geographie. Seine Meriten sind nach der Buchlektüre bestens bekannt.

8. Hipparch (≈190-120 BC)
Er hat die erste Kreissehnentafel erstellt: Kreissehne s = 2r.sin (^alpha/₂). Er hat auch ein Koordinatensystem gefordert.

9. Marcus Vitruvius (≈ 75-15 BC)
Sein Beruf war architectus, was korrekt mit Baumeister übersetzt wird; er begann als Militärtechniker bei Cäsar und diente den Rest seines militärischen u. zivilen Arbeitslebens unter Augustus. Sein Leben ist oben genau beschrieben. Er war für die Technik das, was Euklid für die Mathematik leistete.

10. Ptolemäus (85-165 AD)
Er schuf erneut ein Koordinatensystem, er schuf die Ableitung der Sehnenformel, er entwickelte weiter ein geozentrisches Weltbild mit Kreisbahnen der Planeten und mit der Erde als Kugel. Sein Werk: Almagest in 13 Büchern.

11. Später in der 2. Hälfte des 17. Jahrhundert:  Infinitesimalrechnung nach Leibnitz: die Fläche unter einer Kurve ist die Summe unendlich schmaler Rechtecke. Berühmt war sein Streit mit Newton.

12. Kommensurabilität:
Bei diesem Begriff und seinem Gegenteil (Inkommensurabilität) beginnt für uns höhere Mathematik, aber wie man aus der zeichnerischen Ableitung der Inkommensurabilität sieht, hilft einem die visuelle, geometrische Darstellung dann doch das Ganze zu verstehen. Ab jetzt zitiere ich Detlev Gronau.

Kommensurabilität: Zwei Größen (also Strecken, Flächen, Körper) a und b heißen komensurabel, wenn es eine Größe d gibt und natürliche Zahlen m,n,  N, mit  A = md   und  b = nd.

Man sagte: „a und b werden durch eine gemeinsame Größe derselben Art gemessen.“

Wenn wir uns heute die entsprechenden Größen a und b als positive reelle Zahlen dargestellt denken, dann heißt die Kommensurabilität nichts anderes, als dass das Verhältnis (d.h. der Bruch ) eine rationale Zahl ist.

Vermutlich kannten schon die Pythagoräer das Verfahren der Wechselwegnahme: Man ziehe die kleinere Größe, etwa b von der größeren a ab. Mit den beiden Größen b und a – b verfahre man so weiter. Wird einmal die Differenz null, dann bricht das Verfahren ab. Die Größen a und b sind genau dann kommensurabel, wenn das Verfahren nach endlich vielen Schritten abbricht.

Inkommensurabilität: das folgende Beispiel haben schon die Pythagoräer entdeckt, es ist das Verhältnis zwischen der Seite s und der Diagonale d eines Quadrates. Es gilt: d und s sind inkommensurabel! Nach dieser Zeichnung kann nach endlich vielen Schritten niemals eine der Größen Null werden. Erst diese visuelle Darstellung des Problems hilft das Ganze durchschaubar zu gestalten. Traurig ist in diesem Fall nur, dass der Entdecker des Problems vielleicht sogar im Meer ertränkt wurde.

13. Das Problem mit dem Messen
Der Wunsch nach Ordnung und jeden Besitz messen und daher auch dokumentieren zu können war der Beginn der Metrologie (Ursache: die jährlichen Nilüberschwemmungen). Die Nippur-Elle war ein Referenzmaß (518,5 mm), viele andere Einheiten sind ebenfalls vom Körper abgeleitet. Die ägyptische Meile erwähnt schon Herodot, sie maß 2 persische Parasang und damit je nach Herleitung 10,6 bis 11,2 km. Ähnliches gilt auch für die römische Meile, auch wenn sie heute meist mit 1500 m angenommen wird.

14. Ad Vermessungstechnik der Römer: längere Strecken
Wenn man in München auf dem Oktoberfest mit dem Riesenrad fährt, sieht man an einem schönen Föhntag bis zu Gletschern der Ötztaler Alpen. Das lässt sich vergleichen mit der Strecke von Otranto bis zum Mount Cika südlich von Vlore in Albanien. Drei Strecken davon konnten die Römer messen, die Vierte haben sie mit Hilfe des Strahlensatzes errechnet. Nachahmen lässt sich Messung im Atlas: man nimmt die gemessenen Zentimeter in der Karte und nach dem Strahlensatz erhält man eine Zahl, die maßstabsgerecht umgerechnet werden kann. Notwendige physikalische und meteorologische Voraussetzungen für die Römer: Bei außergewöhnlich guter Sicht kann man über 200 km weit sehen, aber man sollte dazu schon auf einem hohen Berg stehen (1000 m über Grund erlauben die Erdkrümmung über eine Entfernung von 112 km zu kompensieren).

Die Römer haben im Itinerar Antonini unter W323,9 für die Strecke von Brindisi oder Otranto 1000 Stadien (ca. 180 km) angegeben. Das kann natürlich nicht stimmen. Bei Wesseling steht dann unter den Anmerkungen: Brundisium-Aulanum 1200 und Hydruntum-Aulanum 1000 Stadien. Das berücksichtigt die unterschiedlichen Streckenlängen, ist aber zu hochgeschätzt, vielleicht wegen des unsicheren Segelkurses.

Abb.: Die Meerenge von Otranto nach dem Strahlensatz vermessen.

(D:A=C:B  4,9: 0,7=C:2,9  C=20,3-4,3=16=84 km errechnet.

Aus Karte gemessen: 10 km sind 1,9 cm: 5km)

Der Schlusssatz sei Bertrand Russel überlassen: „Mathematics may be defined as the subject in which we never know, what we are talking about, nor whether, what we are saying is true. (Mathematik ist die Wissenschaft, in der man weder weiß, wovon man spricht noch ob das, was man sagt, wahr ist).“

URL und Bibliographie

E.Böhm: Geschichte der Geometrie  DL: 10.5.2018                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   http://www.geometrie.net/mathematik/ausblick/geschichte.htm

Euklid Inhaltsangabe der „Elemente“ (Stoicheia)
https://de.wikipedia.org/wiki/Elemente_(Euklid)

Gronau, Detlev: Vorlesung zur Geschichte der frühen Mathematik (2009)
https://texte-dritter.antike-griechische.de/Gm.pdf

Wolfram Koepf: Geschichte der Analysis, Sommersemester 2012 (Kassel) 

Schneider, Helmuth: Geschichte der antiken Technik 

C.H.Beck Verlag München, 2012. 2.durchgesehene Auflage 

Vitruv: Zehn Bücher über Architektur, Marix Verlag 4.Aufl.2017 

Openstreetmap    DL: 2.5.2018
https://www.openstreetmap.org/#map=12/38.1728/15.590

J.Beck, A.Hable: Vitruv, die Vermessung der antiken Welt und der Limes-Straßen

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In Zusammenfassung unserer Arbeit halten wir folgende römische Ortsnamen aus dem Itinerar Antonini derzeit als falsch zugeordnet: in Rätien: Iovisura, das nach unserer Meinung bei Mamming an der Isar lag. In Noricum: Turum, das war Freilassung/Ainring an der Saalach. Dann Stanacum, das am Inn bei St.Marienkirchen (Schärding) lag und letztlich Ioviacum als mansio war Wesenufer, die Kaserne lag unbestritten in Schlögen an der Donau. Marinianium aus der Tabula Peutigeriana war das römische Linz.

Im Buch geht es um das Lebenswerk Vitruvs, den wir als Techniker an der Seite von Cäsar, Augustus und Agrippa sahen und der alle durch den Bürgerkrieg begleitete. Der 2. Teil befasst sich mit der Entwicklung der Infrastruktur im oberen Donau-Raum. Die Suche nach den Verläufen der Römischen Straßen kann zur Sucht werden. Das wird bei uns wesentlich erleichtert und auch gefördert durch die vielen archäologischen Funde, die dann helfen einen Teil der Straßenstationen zu fixieren.

Textprobe: Das für alle entscheidende Jahr war 45 BC, Cäsar rief seinen Verwandten Octavius (später Augustus) mit seinem Freund Agrippa zu einem Praktikum in seinem Stab anlässlich des Spanien-Feldzugs gegen die Söhne des Pompejus. Dort haben sie sich kennengelernt (Vitruv war auch schon da).
Ein bleibender Fußabdruck wäre ohne sein Buch nicht zustande gekommen. Die Römer haben ihn kaum gekannt, er war kein Partylöwe, zu den Zirkeln der Patrizier und Ritter hatte er keinen Zutritt, mit Schriftstellern hat er sich auch nicht umgeben und außer der Basilica in Fano und dem ursprünglichen Pantheon sind nur die Aquäduktbauten des Vitruv den Römern im Gedächtnis geblieben, erst die Renaissance hat ihn entdeckt und heute ist er zumindest in Technikerkreisen ein bekannter und geschätzter Mann. Verwunderlich ist, dass Historiker derartige technische Leistungen, wie die Vermessung eines Landes einfach dem Kaiser oder Feldherrn zuschreiben. Cäsar sprach von 80.000 Kolonisten, Augustus sogar von 300.000 entlassenen Soldaten, die er im Laufe seiner Amtszeit teilweise mit Grundstücken oder mit Geld versorgt hat. Rechnet man noch die Siedlungen oder die Städte dazu, die oft sehr bekannte Namen tragen, so waren für diese Arbeit nicht nur die kleinen Vermesser vor Ort zuständig, sondern Leute, die die Aufsicht und Verantwortung trugen und die diese Vermessungen grundbuchreif aufgearbeitet haben. Auch das Tabularium hat es in Rom schon gegeben, den Zentralkataster, dem ein Präfekt vorstand.
Was am meisten auffällt, war die nonchalante Verleugnung und das Fehlen der gesellschaftlichen Akzeptanz von Gebildeten oder Wissenschaftlern in Rom. Vitruv verkehrte in den höchsten Kreisen, wurde er dort höchstens als perfekter Handwerker mit höheren Kenntnissen betrachtet und geduldet?

Die plausibelste Erklärung liefert Mommsen, er widmete dem Zustand der Stadt Rom als Hauptstadt ein ganzes Kapitel mit teilweise vernichtenden Aussagen. Dabei traf er eine Einteilung und Wertung der Gesellschaft, die die Geringschätzung der Wissenschaften hervorhob: „Also der anständige Mann muss streng genommen Gutsbesitzer sein; das Kaufmannsgewerbe passiert ihm nur, insofern es Mittel zu diesem letzten Zweck ist, die Wissenschaft als Profession (passiert) nur den Griechen und den nicht den herrschenden Ständen angehörigen Römern, welche sich damit in den vornehmen Kreisen allenfalls für ihre Person eine gewisse Duldung erkaufen dürfen. Das ist die perfekt ausgebildete Plantagenbesitzer-Aristokratie, mit einer starken Schattierung von kaufmännischer Spekulation und einer leisen Nuance von allgemeiner Bildung.“ (5. Buch 11. Kapitel: Die alte Republik und die neue Monarchie).

Vitruv aus der Sicht eines heutigen Vermessers (von DI Peter Leberbauer, Linz). Vitruv verwendete zur Vermessung das zu seiner Zeit bekannte mathematische Wissen auf dem Gebiet der Trigonometrie, wie es von den griechischen Mathematikern seit dem 6. vorchristlichen Jahrhundert entwickelt wurde. Im gegenständlichen Zusammenhang sind dabei Pythagoras von Samos, Thales von Milet und Euklid von Alexandria hervorzuheben. Das Beispiel einer praktischen Anwendung der Trigonometrie für Vermessungsaufgaben ist der Bau des Eupalinos-Tunnels auf der Insel Samos im heutigen Pythagoria. Der im 6. vorchristlichen Jahrhundert errichtete 1036 m lange Tunnel gilt als der erste im Gegenvortrieb aufgefahrene Tunnel. Die Richtung des Vortriebs in vertikaler und horizontaler Richtung musste daher bei beiden Tunnel-Anschlagpunkten bekannt sein. Auch die Tunnellänge musste vor Baubeginn ermittelt werden, damit man wusste wann und wo der Durchstich erfolgen würde. Für die nötigen Längen- und Winkelmessungen war eine besonders große Genauigkeit und peinliche Sorgfalt erforderlich.

Die kartographische Vermessung großer Gebiete benötigt außerdem die Einrichtung eines Koordinatensystems, dessen Ausrichtung an jedem Punkt des Gebietes in gleicher Weise hergestellt werden kann. Es kann angenommen werden, dass ein mit Hilfe astronomischer Methoden (Sonne, Sterne) in Nordsüd-Richtung ausgerichtetes rechtwinkeliges Koordi-naten System zur Anwendung kam. Der Koordinatenursprung ist uns nicht bekannt, lag aber mit großer Wahrscheinlichkeit in Rom. Im kartographisch zu erfassenden Gebiet wurden Festpunkte (Triangulierungspunkte) in der Weise errichtet, dass von einem koordinativ bekannten Punkt mindestens ein weiterer bekannter Punkt und ein neu einzumessender Punkt sichtbar und mit dem Winkelmessgerät anvisierbar waren.

Dazu wurden auch Fluchtstäbe verwendet. Die Koordinaten der Festpunkte wurden entweder mit Hilfe von Längen- und Winkelmessungen analog zur heutigen Polygonzugmessung oder nur mit Hilfe von Winkelmessungen analog dem heutigen Verfahren des Einschneidens ermittelt. Die Ausgangspunkte waren der Koordinatenursprung 0/0 und ein zweiter Punkt, der auf einer vom Ursprung ausgehenden Basisgeraden in Nord-Süd-Richtung in einem aus Genauigkeitsgründen sehr großen und möglichst genau gemessenen Abstand L, also mit den Koordinaten 0/L errichtet wurde. Ausgehend von der Basisgeraden konnte gleichzeitig in alle Richtungen gemessen und die Koordinaten der Festpunkte ermittelt werden. Man kann annehmen, dass zuerst entlang der Küstenlinien und entlang der Straßen gemessen wurde, später dann wurde das Festpunktnetz nach Bedarf Schritt für Schritt verdichtet.

Die Voraussetzungen für Samos:
1. Die  Festlegung der Anschlagpunkte „TA und TB“ sowie der Koordinatenrichtung zum Beispiel durch eine Basislinie bei „TA“.

2. Messung von „b“ wodurch zwei Punkte mit bekannten Koordinaten „TA 00“ und „B (0b)“ gegeben sind.
3. Messung der Richtungswinkel ß und der horizontalen Polygonseiten s und rechnen ∆x und ∆y. Nach „n“ Polygonpunkten ist „TB“ der letzte Polygon-Punkt und somit sind die Koordinaten von „TB“ mit x und y sowie der Winkel für die Vortriebs-Richtung u. die Tunnellänge „L“ ermittelt.

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ANTIKE MATHEMATIK I

Diese Seiten sind für Erdenbürger geschrieben, die das Mathematik-Gen im Schraubengeflecht ihrer Erbanlage nur in verkümmerter Form besitzen. Wer sich die Grundlagen der Mathematik mühsam im Schweiße seines Angesichtes erarbeiten musste, wer vielleicht erst am Lebensabend Zeit findet sich in Ruhe und ohne Angst hier einzuarbeiten und vieles erst jetzt versteht, der möge die folgenden Seiten mit steigendem Verständnis und vielleicht sogar genussvoll durcharbeiten. Das Überraschendste an der Mathematik ist, dass schon vor vielen tausenden Jahren unsere Ahnen so tief in die Geheimnisse der Zahlenwelt eingedrungen sind und sie mit Lineal, Dreieck und Zirkel auch sichtbar und damit besser verstehbar gestaltet haben.

Daneben schaut es für uns so aus, als würden heutzutage Europäer und Angloamerikaner die Geschichte des Altertums in Europa und im Nahen Osten jeweils etwas verschieden betrachten. Das Gleiche gilt aber auch für Historiker und Techniker, egal welcher Herkunft. Die Fülle des Wissens der vielen im Worldwideweb gefundenen Bücher und Artikel hat uns zu dieser Ansicht geführt; man darf nur nicht alles für bare Münze nehmen, darum halten wir Grundkenntnisse in Latein und ebenso in Mathematik (hier besonders Geometrie) für höchst wünschenswert.

Sprachkenntnisse werden bald einmal ausreichen einen Text zu übersetzen, letztlich bleibt nur die Frage offen, hat man den Text sinngemäß richtig übersetzt. Hier gibt es viele Stufen der Vollkommenheit. Die Mathematik kennt zumindest im uns zugänglichen Bereich nur „richtig oder falsch“. Den umfassendsten schriftlichen Beweis lieferte schon Euklid mit seinen Elementen (Stoicheia). Er soll in der 2.Hälfte des vierten Jahrhunderts vor unserer Zeitrechnung gelebt haben und wegen der Beweiskraft seien die Überschriften seiner 13 Bücher hier mit den vermuteten Quellen angeführt. Wer sich nur ein wenig damit beschäftigt wird das Quadrat und den Kreis samt π und seiner Winkeleinteilung in 360º als gegeben und ab der Zeit auch als regelmäßig verwendet annehmen. Diese Technik dürfte schon 1-2 Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung zur Zeitmessung mit Hilfe der Sonne benutzt worden sein.

Buch 1: Von den Definitionen bis zum Satz des Pythagoras (Pythagoräer)
Buch 2: Geometrische Algebra (Pythagoräer)
Buch 3: Kreislehre (Pythagoras)
Buch 4: Vielecke (Pythagoräer)
Buch 5: Irrationale Größen: (Eudoxos)
Buch 6: Proportionen (vermutlich Eudoxos)
Buch 7: Teilbarkeit und Primzahlen (Pythagoräer)
Buch 8: Quadrat- und Kubikzahlen, geometrische Reihen (Pythagoräer)
Buch 9: Gerade und ungerade Zahlen, der Satz des Euklid (Pythagoräer)
Buch 10: Geometrie der inkommensurablen Größen.
Buch 11: Elementares zur Raumgeometrie
Buch 12: Exhaustionsmethode (Euxodos)
Buch 13: Die fünf gleichmäßigen Körper (Theaitetos)

Da das Meiste bei Euklid beschriebene auch Vitruv schon bekannt war, haben es die Römer zur Vermessung und zur Landkartenherstellung verwendet. Der Strahlensatz spielte auch eine große Rolle, denn von Thales ist die Anwendung zur Bestimmung der Höhe der Cheops-Pyramide überliefert, daher haben wir ein Beispiel zur Messung der Straße von Messina beigefügt. Die Vermessung der Straße von Otranto mit ihren über 80 km erforderte schon ideale meteorologische und geographische Bedingungen bezogen auf Sicht und Erdkrümmung, wäre aber auch in dieser Art noch vorstell- und durchführbar.

„Openstreetmap©“ erlaubt die Verwendung, daher haben wir ihre Italienkarte dankenswerterweise für unsere Beweise der römischen Vermessung verwendet.

Es sind hier alle Punkte kurzgefasst und mehr als Anregung zur Beschäftigung gedacht. Von den Unsicherheiten in der Überlieferung lassen wir uns nicht stören, es zählt nur die Substanz, egal ob Babylonier, Ägypter oder Griechen, vielleicht sogar Chinesen, die geistigen Väter waren. Das Gleiche gilt für einen Anteil, den kluge Frauen geliefert haben.

Liste der wichtigsten Quellen und Autoren des Altertums:

1. Papyrus Rhind (ca.2000 BC):
Es ging den Ägyptern um Geometrie und Arithmetik zur Bewältigung der wirtschaftlichen Probleme. Dazu gehörte die Fähigkeit Flächen und auch Rauminhalte zu berechnen und das Bruchrechnen. Für die Fläche des Kreises quadrierten sie  des Kreisdurchmessers und kamen so auf  3,16049 für π.

Ein Kreis mit dem Durchmesser x hat also die Fläche des entsprechenden Achtecks,
d.h. also (8/9x)² = (8/9.9)²=64 daher ist 64 gleich r^2.Π
64 = 4,5²π = 64: 20,25 = 3.16049...
Die Zahl π als Fläche des Einheitskreises (x.h  x=2) hätte somit den Wert 3.16049
Begründung: Einem Quadrat mit der Seitenlänge x wird ein Achteck eingeschrieben. Dieses Achteck nähert sich in etwa dem Kreis mit dem Durchmesser x an. Für x = 9 berechnet sich die Fläche des Achtecks mit x² . 2x/3²= 81 18 = 63
Also ist die Fläche des Achtecks ungefähr gleich groß wie die eines Quadrates mit der Seitenlänge 8.
2x/3:4 Dreiecke, aber damit nur 2 Quadrate!

2. Thales von Milet (≈560-480 BC)
Seine Erkenntnisse: Die Kreisfläche wird vom Durchmesser halbiert. Alle Halbkreisdreiecke haben einen rechten Winkel. 

Die Winkelsumme von Dreiecken ist immer 180º Der Satz von den gleichschenkeligen Dreiecken.

Scheitelwinkelsatz:
Die beiden Winkel Alpha und Beta sind gleich groß, denn sie sind spiegelbildlich.

Strahlensatz: Wenn zwei bzw. drei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gelten folgende Aussagen:

1. Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden. Hier: ED : EB = EC : EA
2. Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel ausgemessenen Strecken auf jeweils derselben Geraden (hier ein Strahl und zwei Parallele).   CD : AB = ED : EB oder AB : CD = EA : EC

Hier in der großen Zeichnung  (Spezialfall mit rechtem Winkel) gilt ebenfalls: AB : CD = AE : CE als Bruch geschrieben:  ^AB/_CD = ^AE/_CE  ...

...CD kommt nun aus dem Nenner auf die andere Seite in den Zähler und so ist nun AB (gesuchte Strecke)  ^{AB x CD}/_CE = ^{8,9 x 4,0}/_1,9 = 18,7 dividiert durch 3,4 (Maßstab Karte 1 km=3,4 cm)= 5,5 (minus die 650 m Land): die Meeresenge ist hier ca. 4,85 km breit.

Hier im Bild der Straße von Messina ist ein rechter Winkel enthalten, das ist aber keine zwingende Voraussetzung (die Messmethode wurde später von Leonardo da Vinci wieder aufgegriffen).

Abb. Ad Strahlensatz: kleine Zeichnungen im Bild ganz oben (Landkarte: openstreetmap©)

3. Pythagoras (560-480 BC)
Sein Name steht für a² + b² = c² (das war aber den Babyloniern und Ägyptern auch schon bekannt. Der Beweis für diese Formel könnte aber von ihm stammen).
Der Einheitskreis: das Arbeiten mit ihm hat vermutlich hier bei den Pythagoräern begonnen und mit Aryabhata (476-550 in Patna, Indien) mit seinen Sinustafeln viel später eine Weiterentwicklung erfahren. Später dann Euler: Er erklärt sin y und cos x in der heute üblichen Form als die kartesischen Koordinaten bei Messung des Winkels x im Radian, also ein Vielfaches des Kreisumfanges. Hieraus folgt  mit dem Satz des Pythagoras  die Identität: sin²y +cos²x = 1

4. Eudoxos von Knidos (408-355 BC)
von ihm soll die Proportionenlehre und die Exhaustionsmethode stammen, damit wäre er der Urvater der Infinitesimalrechnung.

5. Euklid von Alexandria (4. Jahrhundert)
Ihm verdanken wir die Sammlung des damaligen Wissens (siehe oben die Inhaltsangabe seiner Stoicheia). In Arithmetik war er selbst bahnbrechend durch die systematische Entwicklung der Zahlentheorie:
a) die Definition der Primzahl
b) den Euklidischen Algorithmus (größter gemeinsamer Teiler).
c) den „Satz des Euklid“: es gibt unendlich viele Primzahlen.

6. Aristarch von Samos (≈310-230 BC)
er postulierte ein heliozentrisches System und berechnete methodisch richtig, dass die Entfernung Erde-Sonne 19mal so groß sein muss wie die Entfernung Erde-Mond (hier war aber seine Winkelmessung falsch).
Cos-Satz: c²= a²+ b² - 2 ab.cos gamma
Bei einer totalen +Sonnenfinsternis verdeckt der Mond die Sonne fast zur Gänze, daher ist nach dem Strahlensatz das Verhältnis der Durchmesser von Sonne und Mond gleich dem Verhältnis der Entfernungen von Sonne und Mond zur Erde. Die Größe der Erde hat Eratosthenes später dann relativ genau bestimmt, damit waren auch die anderen Größen zu berechnen.