ANTIKE MATHEMATIK I

Diese Seiten sind für Erdenbürger geschrieben, die das Mathematik-Gen im Schraubengeflecht ihrer Erbanlage nur in verkümmerter Form besitzen. Wer sich die Grundlagen der Mathematik mühsam im Schweiße seines Angesichtes erarbeiten musste, wer vielleicht erst am Lebensabend Zeit findet sich in Ruhe und ohne Angst hier einzuarbeiten und vieles erst jetzt versteht, der möge die folgenden Seiten mit steigendem Verständnis und vielleicht sogar genussvoll durcharbeiten. Das Überraschendste an der Mathematik ist, dass schon vor vielen tausenden Jahren unsere Ahnen so tief in die Geheimnisse der Zahlenwelt eingedrungen sind und sie mit Lineal, Dreieck und Zirkel auch sichtbar und damit besser verstehbar gestaltet haben.

Daneben schaut es für uns so aus, als würden heutzutage Europäer und Angloamerikaner die Geschichte des Altertums in Europa und im Nahen Osten jeweils etwas verschieden betrachten. Das Gleiche gilt aber auch für Historiker und Techniker, egal welcher Herkunft. Die Fülle des Wissens der vielen im Worldwideweb gefundenen Bücher und Artikel hat uns zu dieser Ansicht geführt; man darf nur nicht alles für bare Münze nehmen, darum halten wir Grundkenntnisse in Latein und ebenso in Mathematik (hier besonders Geometrie) für höchst wünschenswert.

Sprachkenntnisse werden bald einmal ausreichen einen Text zu übersetzen, letztlich bleibt nur die Frage offen, hat man den Text sinngemäß richtig übersetzt. Hier gibt es viele Stufen der Vollkommenheit. Die Mathematik kennt zumindest im uns zugänglichen Bereich nur „richtig oder falsch“. Den umfassendsten schriftlichen Beweis lieferte schon Euklid mit seinen Elementen (Stoicheia). Er soll in der 2.Hälfte des vierten Jahrhunderts vor unserer Zeitrechnung gelebt haben und wegen der Beweiskraft seien die Überschriften seiner 13 Bücher hier mit den vermuteten Quellen angeführt. Wer sich nur ein wenig damit beschäftigt wird das Quadrat und den Kreis samt π und seiner Winkeleinteilung in 360º als gegeben und ab der Zeit auch als regelmäßig verwendet annehmen. Diese Technik dürfte schon 1-2 Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung zur Zeitmessung mit Hilfe der Sonne benutzt worden sein.

Buch 1: Von den Definitionen bis zum Satz des Pythagoras (Pythagoräer)
Buch 2: Geometrische Algebra (Pythagoräer)
Buch 3: Kreislehre (Pythagoras)
Buch 4: Vielecke (Pythagoräer)
Buch 5: Irrationale Größen: (Eudoxos)
Buch 6: Proportionen (vermutlich Eudoxos)
Buch 7: Teilbarkeit und Primzahlen (Pythagoräer)
Buch 8: Quadrat- und Kubikzahlen, geometrische Reihen (Pythagoräer)
Buch 9: Gerade und ungerade Zahlen, der Satz des Euklid (Pythagoräer)
Buch 10: Geometrie der inkommensurablen Größen.
Buch 11: Elementares zur Raumgeometrie
Buch 12: Exhaustionsmethode (Euxodos)
Buch 13: Die fünf gleichmäßigen Körper (Theaitetos)

Da das Meiste bei Euklid beschriebene auch Vitruv schon bekannt war, haben es die Römer zur Vermessung und zur Landkartenherstellung verwendet. Der Strahlensatz spielte auch eine große Rolle, denn von Thales ist die Anwendung zur Bestimmung der Höhe der Cheops-Pyramide überliefert, daher haben wir ein Beispiel zur Messung der Straße von Messina beigefügt. Die Vermessung der Straße von Otranto mit ihren über 80 km erforderte schon ideale meteorologische und geographische Bedingungen bezogen auf Sicht und Erdkrümmung, wäre aber auch in dieser Art noch vorstell- und durchführbar.

„Openstreetmap©“ erlaubt die Verwendung, daher haben wir ihre Italienkarte dankenswerterweise für unsere Beweise der römischen Vermessung verwendet.

Es sind hier alle Punkte kurzgefasst und mehr als Anregung zur Beschäftigung gedacht. Von den Unsicherheiten in der Überlieferung lassen wir uns nicht stören, es zählt nur die Substanz, egal ob Babylonier, Ägypter oder Griechen, vielleicht sogar Chinesen, die geistigen Väter waren. Das Gleiche gilt für einen Anteil, den kluge Frauen geliefert haben.

Liste der wichtigsten Quellen und Autoren des Altertums:

1. Papyrus Rhind (ca.2000 BC):
Es ging den Ägyptern um Geometrie und Arithmetik zur Bewältigung der wirtschaftlichen Probleme. Dazu gehörte die Fähigkeit Flächen und auch Rauminhalte zu berechnen und das Bruchrechnen. Für die Fläche des Kreises quadrierten sie  des Kreisdurchmessers und kamen so auf  3,16049 für π.

Ein Kreis mit dem Durchmesser x hat also die Fläche des entsprechenden Achtecks,
d.h. also (8/9x)² = (8/9.9)²=64 daher ist 64 gleich r^2.Π
64 = 4,5²π = 64: 20,25 = 3.16049...
Die Zahl π als Fläche des Einheitskreises (x.h  x=2) hätte somit den Wert 3.16049
Begründung: Einem Quadrat mit der Seitenlänge x wird ein Achteck eingeschrieben. Dieses Achteck nähert sich in etwa dem Kreis mit dem Durchmesser x an. Für x = 9 berechnet sich die Fläche des Achtecks mit x² . 2x/3²= 81 18 = 63
Also ist die Fläche des Achtecks ungefähr gleich groß wie die eines Quadrates mit der Seitenlänge 8.
2x/3:4 Dreiecke, aber damit nur 2 Quadrate!

2. Thales von Milet (≈560-480 BC)
Seine Erkenntnisse: Die Kreisfläche wird vom Durchmesser halbiert. Alle Halbkreisdreiecke haben einen rechten Winkel. 

Die Winkelsumme von Dreiecken ist immer 180º Der Satz von den gleichschenkeligen Dreiecken.

Scheitelwinkelsatz:
Die beiden Winkel Alpha und Beta sind gleich groß, denn sie sind spiegelbildlich.

Strahlensatz: Wenn zwei bzw. drei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gelten folgende Aussagen:

1. Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden. Hier: ED : EB = EC : EA
2. Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel ausgemessenen Strecken auf jeweils derselben Geraden (hier ein Strahl und zwei Parallele).   CD : AB = ED : EB oder AB : CD = EA : EC

Hier in der großen Zeichnung  (Spezialfall mit rechtem Winkel) gilt ebenfalls: AB : CD = AE : CE als Bruch geschrieben:  ^AB/_CD = ^AE/_CE  ...

...CD kommt nun aus dem Nenner auf die andere Seite in den Zähler und so ist nun AB (gesuchte Strecke)  ^{AB x CD}/_CE = ^{8,9 x 4,0}/_1,9 = 18,7 dividiert durch 3,4 (Maßstab Karte 1 km=3,4 cm)= 5,5 (minus die 650 m Land): die Meeresenge ist hier ca. 4,85 km breit.

Hier im Bild der Straße von Messina ist ein rechter Winkel enthalten, das ist aber keine zwingende Voraussetzung (die Messmethode wurde später von Leonardo da Vinci wieder aufgegriffen).

Abb. Ad Strahlensatz: kleine Zeichnungen im Bild ganz oben (Landkarte: openstreetmap©)

3. Pythagoras (560-480 BC)
Sein Name steht für a² + b² = c² (das war aber den Babyloniern und Ägyptern auch schon bekannt. Der Beweis für diese Formel könnte aber von ihm stammen).
Der Einheitskreis: das Arbeiten mit ihm hat vermutlich hier bei den Pythagoräern begonnen und mit Aryabhata (476-550 in Patna, Indien) mit seinen Sinustafeln viel später eine Weiterentwicklung erfahren. Später dann Euler: Er erklärt sin y und cos x in der heute üblichen Form als die kartesischen Koordinaten bei Messung des Winkels x im Radian, also ein Vielfaches des Kreisumfanges. Hieraus folgt  mit dem Satz des Pythagoras  die Identität: sin²y +cos²x = 1

4. Eudoxos von Knidos (408-355 BC)
von ihm soll die Proportionenlehre und die Exhaustionsmethode stammen, damit wäre er der Urvater der Infinitesimalrechnung.

5. Euklid von Alexandria (4. Jahrhundert)
Ihm verdanken wir die Sammlung des damaligen Wissens (siehe oben die Inhaltsangabe seiner Stoicheia). In Arithmetik war er selbst bahnbrechend durch die systematische Entwicklung der Zahlentheorie:
a) die Definition der Primzahl
b) den Euklidischen Algorithmus (größter gemeinsamer Teiler).
c) den „Satz des Euklid“: es gibt unendlich viele Primzahlen.

6. Aristarch von Samos (≈310-230 BC)
er postulierte ein heliozentrisches System und berechnete methodisch richtig, dass die Entfernung Erde-Sonne 19mal so groß sein muss wie die Entfernung Erde-Mond (hier war aber seine Winkelmessung falsch).
Cos-Satz: c²= a²+ b² - 2 ab.cos gamma
Bei einer totalen +Sonnenfinsternis verdeckt der Mond die Sonne fast zur Gänze, daher ist nach dem Strahlensatz das Verhältnis der Durchmesser von Sonne und Mond gleich dem Verhältnis der Entfernungen von Sonne und Mond zur Erde. Die Größe der Erde hat Eratosthenes später dann relativ genau bestimmt, damit waren auch die anderen Größen zu berechnen.